Thursday, April 6, 2017

Õpime matemaatikat: lineaarvõrrand desmos.com näitel


Ülesande püstitus:
Et siis nagu on punkt A koordinaatidega x1, y1 ja punkt B koordinaatidega x2, y2. Ja vaja on leida neid punkte läbiva sirge võrrand y = ax + b, täpsemalt selle võrrandi a ja b. Ma olen juba teada saanud, et seda a-d nimetatakse sirge tõusuks ja b-d algordinaadiks. Kas ma saan õigesti aru, et a = (y2 – y1) / (x2 – x1)? Aga kust ma selle b võtan?

Mida me teeme:
a) teeme õige joonise,
b) mõtleme selle abil sirge võrrandi välja,c) joonistame oma sirge desmos.com lehel üles ja veendume, et võrrand tõesti kehtib.


Kõigepealt teeme paberile joonise. 
Võtame kõige lihtsama juhu, kus kõik koordinaadid on positiivsed ja teine punkt paikneb esimesest "ülal paremal". 
Joonistame paberile vaba käega X Y teljed, kaks punkti ja punkte läbiva sirge.
Lisame X ja Y telgedega paralleelsed lõigud, nii et tekib täisnurkne kolmnurk tippudega A, B, (x2 y1).
Näeme, et kolmnurga X-suunalise külje pikkus on (x2-x1) ja Y-suunalise külje pikkus on (y2-y1).


Leiame a ehk saame saada, kui suur on sirge tõus.
Tõus tähendab "kui palju muutub Y, kui X muutub 1 võrra".
Kolmnurga pealt näeme, et kui X suureneb (x2-x1) võrra, siis Y muutub (y2-y1) võrra.
Seega võiks tõus olla nende kahe arvu suhe.
Aga kumbapidi?
Mõtleme: m
ida suurem on igrekite vahe, seda järsem sirge tuleb.
Järelikult tuleb igrekite vahe jagada ikside vahega, ehk a = (y2-y1) / (x2-x1).


Leiame b ehk koha, kus sirge lõikab Y-telge.
Vaatame joonist!  
Sirge lõikab Y telge kohas, mis on y1-st veidi allpool.
Aga kui palju allpool?
Kui X telge pidi liikuda x1 võrra ehk nullini, siis y-koordinaat väheneb samal ajal x1 * a võrra.
(Sest a tähendab seda, kui palju muutub y, kui x muutub 1 võrra.)
Seega: b = y1 - a * x1. 

Lahendus seega:
a = (y2-y1) / (x2-x1)
b = y1 - a * x1

Kontroll ja visualiseerimine.    

(Kes edasi ise ei viitsi, klikib https://www.desmos.com/calculator/ohdjsjyhjg , seal on kõik juba olemas.)
  1. Läheme saidile https://www.desmos.com/calculator
  2. Defineerime punkti (x1, y1).
    See tähendab, et kirjutamegi tühja lahtrisse ekraani vasakus ülaosas: sulg x 1 koma jne..
    Desmos muudab 1 ise indeksiks.
    Desmos pakub nüüd "add slider...", klikime "all". Slider on lihtsalt võimalus muutuja väärtust kergesti muuta.
    Seepeale tekib meil ruudustikule punkt, vaikimisi (1,1), ja kaks "sliderit" x1 ja y1 jaoks.
    Mängime nüüd natuke: lohistame hiirega punkti siia-sinna (sliderid muutuvad), lohistame slidereid siia-sinna (punkt liigub).
  3. Kordame sama (x2, y2) jaoks.
    Nüüd on ekraanil kaks punkti ja vasakus nimekirjas neli sliderit.
    Slaiderid võib nüüd unustada, rohkem neid vaja pole.
  4. Lisame kaks valemit, kumbki uues lahtris:
    a = (y2-y1) / (x2-x1)
     
    b = y1 - a * x1
  5. Kirjutame uude lahtrisse oma sirge võrrandi:
    y = ax+b
    Desmos näitab meile meie sirget!!!
    Tundub, et meie valem on õige!
  6. Kontrollime!!!
    Liigutame punkte (x1 y1) ja (x2 y2) siia sinna.
    Kas meie sirge liigub kaasa?
    JAA!!!
  7. Tundub, et meie valem kehtib ka siis, kui mõni koordinaat on negatiivne, või on punktide asukohad vahetuses, või miski muu.
    KÕIK TÖÖTAB!
Edasine on juba puhas lust:
  1. Lisame valemi:
    y = -x/a + b
    Saame uue, ristuva sirge!
  2. Klikime sliderite juures olevaid noolekesi.
    Punktid hakkavad ise liikuma - ja sirged koos nendega.
  3. Nüüd võib ise matemaatikat edasi mängida.

No comments: